[이지혜의 수학 칼럼] 차원에 대해서

나는 고등학교 입학 전 차원을 주제로 하는 책 ‘플랫랜드’를 읽은 적이 있다. 그 때 ‘차원’이라는 개념이 나에게는 정말 흥미롭게 다가왔고 수학적 ‘4차원’이 무엇인지 그와 관련된 영상을 많이 찾아보았다. 물론 정확한 해답이 나오지는 않았으나 각 차원 간의 관계를 파악하고 그것을 4차원에 적용해보면서 내가 스스로 고민해보고 차원에 관해 알아보는 과정이 매우 재미있었다. 나는 사람들이 차원에 관심을 가지며 차원이 매우 재미있다는 것을 깨닫게 해주고 싶어 이 주제로 칼럼을 써본다.

 

옛날 옛적에 점 나라, 선 나라, 평면 나라, 입체 나라가 있었다고 해보자. 점 나라 주민은 세상에 자기 자신만 있다고 알고 있었고 선 나라 주민은 자신의 앞, 뒤에 있는 도형만 볼 수 있었다. 평면 나라 주민은 동서남북의 존재를 알고 있었고 입체 나라 주민은 동서남북뿐만 아니라 위, 아래라는 개념을 알고 있었다.

 

 

선 나라 주민은 다른 선을 볼 때 점만 볼 수 있었고 평면 나라 주민은 다른 평면을 볼 때 선만 볼 수 있고 입체 나라 주민은 다른 입체들을 볼 때 면만 볼 수 있다. 즉, 평면 나라 주민은 다른 평면을 볼 때 선의 내부, 선의 양 끝이 아닌 중간 부분을 볼 수 있다. 입체 나라 주민은 면의 내부, 면의 네 변이 아닌 네 변으로 이루어진 면 부분을 볼 수 있다. 선분을 3이라고 해보자. 그렇다면 평면은 3의 제곱이 되는 것이고 입체는 3의 세제곱이 되는 것이다. 점을 앞으로 평행하게 움직이면 선분이 되고, 선을 옆으로 평행하게 움직이면 평면이 되며, 평면을 위로 평행하게 움직이면 입체가 된다. (참고 : 에드윈 애벗, [주석 달린 플랫랜드], 필로소픽, 2017 2장~3장) 이런 각 차원의 수학적 관계를 이용해 4차원의 특징을 살펴보자. 4차원의 도형은 모르겠지만 그 도형은 다른 4차원의 도형을 볼 때 입체를 볼 수 있다. 즉, 입체의 내부, 그 가운데 부분을 보는 것이 가능하다. 그리고 4차원 도형은 3의 네 제곱이고 입체도형을 어느 쪽으로든 평행하게 움직인 것이다. 물론 이것이 진짜 4차원이 아닐지도 모르겠지만 이렇게 유추는 가능하다.

 

차원이 어떤 것인지 감이 잡혔다면 질문 한 가지를 하겠다. 선분은 무엇일까? 앞서 점이 평행하게 움직였다고 말했듯 많은 사람들은 선을 무수히 많은 점의 모임이라고 정의한다. 이것이 과연 옳은 답일까? 유클리드의 정의에는 이렇게 나와 있다. ‘1. 점이란 부분이 없는 것이다.’ 점은 부분이 없기 때문에 점의 길이는 존재하지 않는다. 즉, 점의 길이는 0이다. 그런 점이 모여서 길이가 있는 선을 만드는 것이 가능할까? 가능하지 않다. 따라서 ‘선은 무수히 많은 점의 모임이다.’ 이런 정의는 논리적으로 틀리게 된다.

 

 

 

그렇지만 아예 틀린 것이라고는 할 수 없다. L={(x.y)ㅣy=x, x,y는 실수} 이런 집합이 있을 때 그래프는 (위의 그래프 사진 참고) 이렇게 그려지고 이 그래프에는 (-1,-1), (0,0), (1,1)... 이런 무수한 점들이 있다. 이 무수한 점들은 집합 L의 원소가 되고 즉, 선은 점의 모임이 된다. 이렇게 집합론적인 관점에서의 선은 무수히 많은 점의 모임이라고 정의할 수 있다.1

 

참고 및 인용자료 출처

1.참고 : 점이 모이면 선이 될까?, https://www.youtube.com/watch?v=YZKp8cLS4Fw

 

 

 

 

 

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