[이유빈의 과학 칼럼] 간단한 이차함수로 알아보는 카오스 이론

나비효과라는 단어를 들어본 적이 있을 것이다. 작은 행동이 큰 파장을 불러왔을 때 쓰는 말인 이 '나비효과'는 말 그대로 과학계에 큰 나비효과를 불러일으켰다.  나비효과라는 단어는 카오스 이론으로부터 비롯된 것인데, 이 카오스 이론을 어렵다고 느끼는 친구들이 많다. 하지만 간단한 이차함수를 통해 카오스 이론을 쉽게 설명할 수 있다. 본격적으로 카오스 이론을 이해해보도록 하자. 

 

 

카오스 이론이 처음 등장한 것은 1963년 미국 기상학회지에서의 로렌츠의 deterministic Nonperiodic Flow(결정적 비주기적인 흐름)라는 논문이다.  로렌츠는 여러가지 기상 현상을 추적하기 위해 공기 입자의 위치를 연속적으로 기록하였다. 단순한 선형적 결과를 기대한 로렌츠의 마음과는 반대로 예측 불가능한 복잡한 결과가 산출되었고연산을 거듭할수록  더더욱 예측 불가능한 값이 나왔다.  이 공기 운동의 양상을 x,y,z축의 좌표 평면에 옮겼을 때, ‘기이한 나비 끌개(strange butterfly)'모양을 볼 수 있다. 그 모양이 흡사 나비와 닮았다고 하여 로렌츠의 나비 끌개라고도 불린다. 초기 조건에 미미한 차이가 시간이 흐르면서 엄청난 차이로 나타난다고 하여 ‘북경에서 나비가 날면 미국에서 토네이도가 생긴다.’는 나비 효과(butterfly effect)’가 여기서 나온 단어이다. (참고:https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3537311&cid=60217&categoryId=60217)  초기 조건의 민감성과 미래를 예측하기 어렵다는 특징은 카오스 이론의 핵심이기도 하다.  이제 본격적으로 수학 문제를 풀어보며 카오스를 이해해보자. 

 

 

 

x에 임의의 초깃값 x1을 주면, 출력값 y를 얻을 수 있다. 그리고 이것을 다시 입력하여  x3, 같은 과정을 반복해서 x4 , x5, ... , xn, ... 을 얻을 수 있다. 이러한 반복을 통해 나오는 n번째 수는 실제로 계산을 하기 전에는 구할 수 없다. 그리고 이차항의 계수 값, 즉 초기 조건이 변함에 따라 그 결과는 매우 크게 달라질 것이다.  여기서 초기 조건에 민감한 카오스의 특징을 엿볼 수 있다. (인용:https://blog.naver.com/einew/30009021045) 이 문제를 통해서 카오스의 특징인 초기 조건의 민감성을 살펴보았는데 이것은 카오스의 특징 중 일부이기 때문에 카오스를 전부 이해했다고 말할 수는 없다. 하지만 어렵고 멀게만 느껴졌던 카오스 이론이 우리가 풀고 있는 수학 문제에서도 적용될 수 있음을 알 수 있다. 조금은 카오스 이론이 가깝게 느껴지기를 바란다. 

 

수학 문제뿐만 아니라 카오스 이론은 굉장히 많은 곳에서 활용되고 있다.  만약 먹이가 한정된 연못에 물고기 1,000마리를 넣으면 어떻게 될까? 연못에 하루에 물고기를 두 마리씩 먹어 치우는 상어 50마리를 더 넣으면 어떻게 될까? 개체군 밀도에 따라 일정한 비율로 희생자를 죽이고 또 일정한 비울로 퍼지는 바이러스는 어떻게 될까? (인용: (책) 카오스, 새로운 과학의 출현 p.100) 카오스가 이 질문에 대답을 할 수 있다. 과학자들은 이를 하나의 공식으로 만들었는데, 바로 f(x)=rx(1-x)이다. 

 

x의 값은 올해의 개체 수가 되고 f(x)는 내년의 개체 수의 함수이다. 올해의 개체 수가 많을수록 많이 번식하고 더 많은 개체를 잉태할 것이므로 y=rx의 증가하는 함수를 떠올릴 수 있다. 반대로 개체 수가 많을수록 먹이 경쟁이 심화하면서 굶어죽는 개체가 많아질 것이므로 y=r(1-x)의 감소하는 함수를 떠올릴 수 있을 것이다. 이 두가지 특징을 모두 담은 방정식이 바로 맬서스적 선형 방정식을 수정한 형태인 x=rx(1-x)가 되겠다. 이 함수는 r의 값, 즉 초기조건에 따라 값이 크게 달라지는데 이는 곧 초기조건이 개체군의 생존을 결정한다는 것을 알 수 있다.(참고: (책) 카오스, 새로운 과학의 출현 p.100) 

 

이렇듯, 카오스는 우리 실생활에 밀접하게 녹아있을 뿐만 아니라 생태학, 물리학 등의 연구에 사용되고 있다. 우리 인생도 카오스와 같다.  지금하고 있는 작은 노력이 미래에는 큰 성공으로 이어지는 초기 민감성을 가지고 있다. 카오스는 인생이라는 실험을 하고 있는 우리에게 초기조건이 얼마나 중요한 것인지 알고 초기조건을 잘 설정해 성공적인 결과를 얻으라는 교훈을 주고 있다. 

 

 

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